Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ и ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ из ${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $n$ и $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{1}{2}$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $n$ в $(- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$a = - 144 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Этап 4.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 144 \frac{1}{2^{0}}$

Этап 4.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$a = - 144 \cdot 1$

Этап 4.2.6

Умножим $- 144$ на $1$ .

$a = - 144$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{- 144}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- 144}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 144}{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 6.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{- 144}{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 144 \cdot 2$

Этап 6.3

Умножим $- 144$ на $2$ .

$- 288$