Математический анализ Примеры

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = 9 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 6.3

Перенесем ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 7

По правилу суммы производная $9 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 8

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

Этап 12.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 12.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 12.4

Объединим $\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{- 4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$