Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} \tan (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)] - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Этап 7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 11

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{2} (x)$ .

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$

Этап 13

Объединим $4$ и $\frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$ .

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 (x^{2} \sec^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (2 x)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 (\tan (x) (2 x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x \sec^{2} (x)) + 4 x (\tan (x) \cdot (2))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 4 x (- x \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2) - x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.2

Перенесем $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.4

Вынесем множитель $x$ из $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ .

$\frac{4 x (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{4 x (x \cdot 1 + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.7.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{4 x (x + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.7.2

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.9.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 14.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} + 8 x \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 8 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $4 x$ из $8 x \tan (x)$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Этап 14.3.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (2 \tan (x))$ .

$\frac{4 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$