Математический анализ Примеры

$f (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 6.3

Перенесем ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 7

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1)$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$