Математический анализ Примеры

$f (x) = {(1 + \ln (x))}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \ln (x)$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \ln (x))}^{2} \frac{1}{x}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $3$ .

$\frac{3}{x} {(1 + \ln (x))}^{2}$

Этап 4.2

Объединим $\frac{3}{x}$ и ${(1 + \ln (x))}^{2}$ .

$\frac{3 {(1 + \ln (x))}^{2}}{x}$