Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{4 x}}{x^{20}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{4 x}$ и $g (x) = x^{20}$ .

$\frac{x^{20} \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{{(x^{20})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{20})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{20} \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{20 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $20$ на $2$ .

$\frac{x^{20} \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{x^{20} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x^{20} (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{x^{20} (e^{4 x} \cdot 4) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$\frac{x^{20} (4 \cdot e^{4 x}) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{20}]}{x^{40}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 20$ .

$\frac{x^{20} (4 e^{4 x}) - e^{4 x} (20 x^{19})}{x^{40}}$

Этап 4.5

Умножим $20$ на $- 1$ .

$\frac{x^{20} (4 e^{4 x}) - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{20} e^{4 x} - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Этап 5.1.2

Изменим порядок множителей в $4 x^{20} e^{4 x} - 20 e^{4 x} x^{19}$ .

$\frac{4 x^{20} e^{4 x} - 20 x^{19} e^{4 x}}{x^{40}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{4 e^{4 x} x^{20} - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $4 e^{4 x} x^{19}$ из $4 e^{4 x} x^{20} - 20 e^{4 x} x^{19}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $4 e^{4 x} x^{19}$ из $4 e^{4 x} x^{20}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{19} (x) - 20 e^{4 x} x^{19}}{x^{40}}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $4 e^{4 x} x^{19}$ из $- 20 e^{4 x} x^{19}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{19} (x) + 4 e^{4 x} x^{19} (- 5)}{x^{40}}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $4 e^{4 x} x^{19}$ из $4 e^{4 x} x^{19} (x) + 4 e^{4 x} x^{19} (- 5)$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{19} (x - 5)}{x^{40}}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x^{19}$ и $x^{40}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x^{19}$ из $4 e^{4 x} x^{19} (x - 5)$ .

$\frac{x^{19} (4 e^{4 x} (x - 5))}{x^{40}}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $x^{19}$ из $x^{40}$ .

$\frac{x^{19} (4 e^{4 x} (x - 5))}{x^{19} x^{21}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{19} (4 e^{4 x} (x - 5))}{x^{19} x^{21}}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 e^{4 x} (x - 5)}{x^{21}}$