Математический анализ Примеры

$x {(x - 5)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 5) (x - 5))]$

Этап 2

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 5) - 5 (x - 5))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Этап 3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)]$

Этап 3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 x + 25)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 10 x + 25$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25] + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 10 x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.3

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5

Умножим $- 10$ на $1$ .

$x (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (2 x - 10 + 0) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.7

Добавим $2 x - 10$ и $0$ .

$x (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1$

Этап 5.9

Умножим $x^{2} - 10 x + 25$ на $1$ .

$x (2 x - 10) + x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6.2.5

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - 10 \cdot x + x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6.2.6

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

Этап 6.2.7

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 20 x + 25$