Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 54 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 54 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 54$ является константой относительно $x$ , производная $- 54 x$ по $x$ равна $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 54$ на $1$ .

$6 x^{2} - 54$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 54$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 54)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 54)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 54$ является константой относительно $x$ , производная $- 54$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{2} - 54 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 54 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 54 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 54$ является константой относительно $x$ , производная $- 54 x$ по $x$ равна $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 54$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 54$ .

$6 x^{2} - 54$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 54 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 54 = 0$

Этап 5.2

Добавим $54$ к обеим частям уравнения.

$6 x^{2} = 54$

Этап 5.3

Разделим каждый член $6 x^{2} = 54$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $6 x^{2} = 54$ на $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{54}{6}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{54}{6}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{6}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $54$ на $6$ .

$x^{2} = 9$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3, - 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (3)$

Этап 9

Умножим $12$ на $3$ .

$36$

Этап 10

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 2 {(3)}^{3} - 54 \cdot 3$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 2 \cdot 27 - 54 \cdot 3$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $27$ .

$f (3) = 54 - 54 \cdot 3$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 54$ на $3$ .

$f (3) = 54 - 162$

Этап 11.2.2

Вычтем $162$ из $54$ .

$f (3) = - 108$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 108$ .

$y = - 108$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (- 3)$

Этап 13

Умножим $12$ на $- 3$ .

$- 36$

Этап 14

$x = - 3$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 2 {(- 3)}^{3} - 54 \cdot - 3$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (- 3) = 2 \cdot - 27 - 54 \cdot - 3$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $- 27$ .

$f (- 3) = - 54 - 54 \cdot - 3$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 54$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 54 + 162$

Этап 15.2.2

Добавим $- 54$ и $162$ .

$f (- 3) = 108$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $108$ .

$y = 108$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{3} - 54 x$ .

$(3, - 108)$ — локальный минимум

$(- 3, 108)$ — локальный максимум

Этап 17