Математический анализ Примеры

$lim_{t \to - 6} \frac{t^{2} - 36}{2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to - 6} t^{2} - 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- 6$ .

$\frac{lim_{t \to - 6} t^{2} - lim_{t \to - 6} 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{t \to - 6} t)}^{2} - lim_{t \to - 6} 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $36$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- 6$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 6} t)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 6$ для $t$ .

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{36 - 1 \cdot 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{36 - 36}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $36$ из $36$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + 13 t + 6}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 6} 2 t^{2} + lim_{t \to - 6} 13 t + lim_{t \to - 6} 6}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{0}{2 lim_{t \to - 6} t^{2} + lim_{t \to - 6} 13 t + lim_{t \to - 6} 6}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 6} t)}^{2} + lim_{t \to - 6} 13 t + lim_{t \to - 6} 6}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $13$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 6} t)}^{2} + 13 lim_{t \to - 6} t + lim_{t \to - 6} 6}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- 6$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 6} t)}^{2} + 13 lim_{t \to - 6} t + 6}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 6$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 6$ для $t$ .

$\frac{0}{2 {(- 6)}^{2} + 13 lim_{t \to - 6} t + 6}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 6$ для $t$ .

$\frac{0}{2 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 + 6}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 36 + 13 \cdot - 6 + 6}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Умножим $2$ на $36$ .

$\frac{0}{72 + 13 \cdot - 6 + 6}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $13$ на $- 6$ .

$\frac{0}{72 - 78 + 6}$

Этап 1.1.3.7.2

Вычтем $78$ из $72$ .

$\frac{0}{- 6 + 6}$

Этап 1.1.3.7.3

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to - 6} \frac{t^{2} - 36}{2 t^{2} + 13 t + 6} = lim_{t \to - 6} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to - 6} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $t^{2} - 36$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [- 36]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 36$ является константой относительно $t$ , производная $- 36$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t + 0}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2 t$ и $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 13 t + 6]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2 t^{2} + 13 t + 6$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{2}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{2 (2 t) + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + \frac{d}{d t} [13 t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d t} [13 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $13$ является константой относительно $t$ , производная $13 t$ по $t$ равна $13 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $13$ на $1$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 + \frac{d}{d t} [6]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $4 t + 13$ и $0$ .

$lim_{t \to - 6} \frac{2 t}{4 t + 13}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$2 lim_{t \to - 6} \frac{t}{4 t + 13}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $- 6$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{lim_{t \to - 6} 4 t + 13}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- 6$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{lim_{t \to - 6} 4 t + lim_{t \to - 6} 13}$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{4 lim_{t \to - 6} t + lim_{t \to - 6} 13}$

Этап 2.5

Найдем предел $13$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- 6$ .

$2 \frac{lim_{t \to - 6} t}{4 lim_{t \to - 6} t + 13}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 6$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 6$ для $t$ .

$2 \frac{- 6}{4 lim_{t \to - 6} t + 13}$

Этап 3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $- 6$ для $t$ .

$2 \frac{- 6}{4 \cdot - 6 + 13}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $4$ на $- 6$ .

$2 \frac{- 6}{- 24 + 13}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 24$ и $13$ .

$2 (\frac{- 6}{- 11})$

Этап 4.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$2 (\frac{6}{11})$

Этап 4.3

Умножим $2 (\frac{6}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{6}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{11}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{12}{11}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{12}{11}$

Десятичная форма:

$1.\overline{09}$