Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{9 + 4 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 9 + 4 x$ .

$\frac{(9 + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(9 + 4 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $9 + 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $9 + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \cdot 1}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (4 x)) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 9 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 (x \cdot x)) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x^{2}) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{18 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{18 x + 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x^{2} + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{2} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x + 9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$