Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\log_{7} (x)}{x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \log_{7} (x)$ и $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3

Производная $\log_{7} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{x^{4} \frac{1}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (7)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x (\ln (7))} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 5

Умножим $\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$ на $\frac{\ln (7)}{\ln (7)}$ .

$\frac{\ln (7)}{\ln (7)} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{\ln (7) (\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) (4 x^{3}))}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- 4 \log_{7} (x) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $- 4 \log_{7} (x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 9.1.2

Изменим порядок множителей в $x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})$ .

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{\ln (7) x^{8}}$

Этап 9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))$ .

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

Этап 9.4

Развернем $\log_{7} (x^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{8} \ln (7)}$

Этап 9.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8} \ln (7)$ .

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

Этап 9.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x))}{x^{5} \ln (7)}$

Этап 9.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 4 \ln (7) \log_{7} (x)}{x^{5} \ln (7)}$