Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 9 x + 39}{x - 7}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 9 x + 39$ и $g (x) = x - 7$ .

$\frac{(x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 39] - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 9 x + 39$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]$ .

$\frac{(x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $39$ является константой относительно $x$ , производная $39$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + 0) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 9$ и $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + 0)}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \cdot 1}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39)}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(x - 7) (2 x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x - 9) - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.3

Перенесем $- 9$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.4

Умножим $2$ на $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.5

Умножим $- 7$ на $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Вычтем $14 x$ из $- 9 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $39$ .

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 23 x + 63 + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $- 23 x$ и $9 x$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 63 - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Вычтем $39$ из $63$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 24}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} - 14 x + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 14$ .

$- 12, - 2$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 12) (x - 2)}{{(x - 7)}^{2}}$