Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 3$ и $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} - - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$