Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} - 10 x + 0$

Этап 4.2

Добавим $x^{2} - 10 x$ и $0$ .

$x^{2} - 10 x$