Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{3}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.6

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{- 2} - 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 3.6.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.3

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 4.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 4.13

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 4.14

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 4.14.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 4.14.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 4.14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 4.14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 4.14.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 4.14.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 4.15

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 4.16

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.17

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.18

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 4.19.2

Сократим общий множитель.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.19.3

Перепишем это выражение.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$