Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ в виде ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} + 4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

Этап 3.6.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

Этап 4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4.2.4

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим правило умножения к $4 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $8$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$