Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 6 x^{3} - 36 x^{2} + 108 x - 4$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{4} + 6 x^{3} - 36 x^{2} + 108 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.5.2.4

Разделим $2 x^{3}$ на $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $6$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $108$ является константой относительно $x$ , производная $108 x$ по $x$ равна $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5.3

Умножим $108$ на $1$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108 + 0$

Этап 6.2

Добавим $2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108$ и $0$ .

$2 x^{3} + 18 x^{2} - 72 x + 108$