Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3}{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3] - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + 0) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $3 x^{2} - 8 x$ и $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{3} - 8 x \cdot x - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 (x \cdot x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 8 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$