Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $1$ .

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $1$ .

$\frac{1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $1$ для $t$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

Этап 1.1.3.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{t \to 1} t}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $1$ для $t$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}} = lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $1 - \sqrt{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}$

Этап 1.3.8.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Этап 1.3.8.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}$

Этап 1.3.8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}$

Этап 1.3.8.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.8.10

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.9

Вычтем $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{t \to 1} - - (2 t^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Перепишем $t^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to 1} - - (2 \sqrt{t})$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to 1} - (- 2 \sqrt{t})$

Этап 1.6.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to 1} 2 \sqrt{t}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$2 lim_{t \to 1} \sqrt{t}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак радикала.

$2 \sqrt{lim_{t \to 1} t}$

Этап 3

Найдем предел $t$ , подставив значение $1$ для $t$ .

$2 \sqrt{1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2$