Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{- 2 x} \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- 2 x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 3

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

Этап 5.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x}}{x} + \ln (x) (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

Этап 5.3.3

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- 2 x} \ln (x) + \frac{e^{- 2 x}}{x}$