Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\cos (x)}{x^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - \cos (x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Этап 4.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - 5 \cos (x) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5} (- \sin (x)) - 5 \cos (x) x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5} (- \sin (x))$ .

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x))) - 5 \cos (x) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 5 \cos (x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x))) + x^{4} (- 5 \cos (x))}{x^{10}}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} (x (- \sin (x))) + x^{4} (- 5 \cos (x))$ .

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{10}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (- \sin (x)) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x \sin (x) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 \cos (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - (5 \cos (x))}{x^{6}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sin (x)) - (5 \cos (x))$ .

$\frac{- (x \sin (x) + 5 \cos (x))}{x^{6}}$

Этап 6.5

Перепишем $- (x \sin (x) + 5 \cos (x))$ в виде $- 1 (x \sin (x) + 5 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 5 \cos (x))}{x^{6}}$

Этап 6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x \sin (x) + 5 \cos (x)}{x^{6}}$