Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} + 5 x^{3}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{6}{x^{3}} + 5 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6}{x^{3}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.8

Умножим $- 3$ на $6$ .

$- 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 18 x^{- 4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 18 x^{- 4} + 5 (3 x^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $5$ .

$- 18 x^{- 4} + 15 x^{2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 18$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 18}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$15 x^{2} - \frac{18}{x^{4}}$