Математический анализ Примеры

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Этап 1

Запишем ${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ в виде функции.

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ и $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

По правилу суммы производная $2 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.1.5.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.5.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.5.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.5.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.5.12

Умножим $2$ на $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.1.5.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

Этап 2.1.5.14

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Этап 2.1.6.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Этап 2.1.6.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Этап 2.1.6.2

Умножим $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ на $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Этап 2.1.6.3

Изменим порядок членов.

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.1

Развернем $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.2.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.2.5.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.4

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.5

Развернем $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Этап 2.1.6.4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.6.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.6.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

Этап 2.1.6.4.6.1.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

Этап 2.1.6.4.6.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

Этап 2.1.6.5

Объединим противоположные члены в $- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.5.1

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

Этап 2.1.6.5.2

Добавим $2 x + 2 - 2 x^{3}$ и $0$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

Этап 2.1.6.6

Добавим $2 x$ и $4 x$ .

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

Этап 2.1.6.7

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $2 - 4 x^{3} + 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 2.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$0 - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Этап 2.2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$0 - 12 x^{2} + 6$

Этап 2.2.4

Вычтем $12 x^{2}$ из $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{2} + 6$ .

$- 12 x^{2} + 6$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{2} + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 12 x^{2} + 6 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 12 x^{2} = - 6$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 6$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 6$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 12}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6$ .

$x^{2} = \frac{- 6 (1)}{- 12}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {((\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем ${(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ в виде $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.2

Развернем $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.1.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.4.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.1.2.5.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 4.1.2.5.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Этап 4.1.2.5.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Этап 4.1.2.5.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 4.1.2.5.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 4.1.2.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Этап 4.1.2.5.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Этап 4.1.2.5.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{4})$

Этап 4.1.2.5.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

Этап 4.1.2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Этап 4.1.2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Этап 4.1.2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.6.2

Объединим $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.7

Умножим $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.3.1.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.8.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.9

Чтобы записать $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{4} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Этап 4.1.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2 + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Этап 4.1.2.12.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Этап 4.1.2.12.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

Этап 4.1.2.12.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

Этап 4.1.2.12.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.12.7

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $6 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{8 - 3 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.12.8

Вычтем $3$ из $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.1.2.13

Окончательный ответ: $\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ , найдем точку $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

Этап 4.3

Подставим $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {((- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перепишем ${(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ в виде $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.2

Развернем $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.1.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.1.5

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.2.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.5

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.3.5

Вычтем $\frac{\sqrt{2}}{2}$ из $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 1 \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4.1.2

Перепишем $- 1 \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Этап 4.3.2.4.2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}))$

Этап 4.3.2.4.2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

Этап 4.3.2.4.2.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.3.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Этап 4.3.2.4.2.3.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

Этап 4.3.2.4.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Этап 4.3.2.4.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Этап 4.3.2.4.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 4.3.2.4.2.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Этап 4.3.2.4.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Этап 4.3.2.4.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 4.3.2.4.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 4.3.2.4.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Этап 4.3.2.4.2.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Этап 4.3.2.4.2.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{4})$

Этап 4.3.2.4.2.7

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

Этап 4.3.2.4.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Этап 4.3.2.4.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Этап 4.3.2.4.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.5

Развернем $(\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2} - \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.2

Умножим $\frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.3

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.3.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.3.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.5

Умножим $- \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + 1 \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.6.1.5.3

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.2.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2$

Этап 4.3.2.6.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.3.2.6.4

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 4.3.2.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 4.3.2.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.6.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 8}{4}$

Этап 4.3.2.6.6.2

Добавим $- 3$ и $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

Этап 4.3.2.7

Добавим $- 3 \sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

Этап 4.3.2.8

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2} + \frac{5}{4}$

Этап 4.3.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} + \frac{5}{4}$

Этап 4.3.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

Этап 4.3.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{1} + \frac{5}{4}$

Этап 4.3.2.8.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

Этап 4.3.2.9

Окончательный ответ: $- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$ .

$- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

Этап 4.4

Подставляя $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ , найдем точку $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 12 {(- 0.80710678)}^{2} + 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.80710678$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 12$ на $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

Этап 6.2.2

Добавим $- 7.81705627$ и $6$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 1.81705627$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1.81705627$ .

$- 1.81705627$

Этап 6.3

При $- 0.80710678$ вторая производная имеет вид $- 1.81705627$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 6$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 6$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$f'' (0) = 6$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Возрастание в области $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = - 12 {(0.80710678)}^{2} + 6$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.80710678$ в степень $2$ .

$f'' (0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 12$ на $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

Этап 8.2.2

Добавим $- 7.81705627$ и $6$ .

$f'' (0.80710678) = - 1.81705627$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 1.81705627$ .

$- 1.81705627$

Этап 8.3

При $0.80710678$ вторая производная имеет вид $- 1.81705627$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

Этап 10