Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{7 x - 4}{x - 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 7 x - 4$ и $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [7 x - 4] - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 4) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{(x - 4) (7 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 4) (7 + 0) - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{(x - 4) \cdot 7 - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $7$ влево от $x - 4$ .

$\frac{7 \cdot (x - 4) - (7 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{7 (x - 4) - (7 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{7 (x - 4) - (7 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{7 (x - 4) - (7 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{7 (x - 4) - (7 x - 4) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{7 (x - 4) - (7 x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 4 - (7 x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 4 - (7 x) - - 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $7$ на $- 4$ .

$\frac{7 x - 28 - (7 x) - - 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{7 x - 28 - 7 x - - 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{7 x - 28 - 7 x + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $7 x - 28 - 7 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $7 x$ из $7 x$ .

$\frac{0 - 28 + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $28$ из $0$ .

$\frac{- 28 + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 28$ и $4$ .

$\frac{- 24}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{24}{{(x - 4)}^{2}}$