Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

Этап 1.1.2

Умножим $x \frac{2 x}{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $x$ и $\frac{2 x}{1 + x}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

Этап 1.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

Этап 1.1.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

Этап 1.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

Этап 1.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $x^{2} (1 + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Этап 3.2.1.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Этап 3.2.2

Упростим $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим $2 x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

Этап 3.2.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

Этап 3.2.2.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

Этап 3.2.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

Этап 3.2.2.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 3.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

Этап 3.2.3.2

Добавим $2 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Этап 3.2.3.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Этап 3.2.3.4

Добавим $x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

Этап 3.2.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{3}$ .

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Этап 3.2.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Этап 3.2.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

Этап 3.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Этап 3.2.6

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.2.6.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.7

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 3.2.7.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 3.2.7.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (3 x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ истинным.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{3}$