Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{5} \ln (x)$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{5} \ln (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$5 (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$5 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{5}$ и $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$5 (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{4} + 5 (\ln (x) (5 x^{4}))$

Этап 5.2

Умножим $5$ на $5$ .

$5 x^{4} + 25 \ln (x) x^{4}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$5 x^{4} + 25 x^{4} \ln (x)$