Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 x - 1}{2 x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 1$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $3$ влево от $2 x + 1$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 1) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 1) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим противоположные члены в $3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $3 (2 x)$ и $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Вычтем $2 \cdot 3 x$ из $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $3 \cdot 1$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{5}{{(2 x + 1)}^{2}}$