Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - \sqrt{lim_{x \to 3} 4 - x}}$

Этап 1.1.3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - \sqrt{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}}$

Этап 1.1.3.7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - \sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}$

Этап 1.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2} - \sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}$

Этап 1.1.3.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2} - \sqrt{4 - 3}}$

Этап 1.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - 2} - \sqrt{4 - 3}}$

Этап 1.1.3.9.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - \sqrt{4 - 3}}$

Этап 1.1.3.9.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{4 - 3}}$

Этап 1.1.3.9.1.4

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Этап 1.1.3.9.1.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.9.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.9.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.9.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.13

Умножим $\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.14

Перенесем ${(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Этап 1.3.8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Этап 1.3.8.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Этап 1.3.8.4

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Этап 1.3.8.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Этап 1.3.8.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 1.3.8.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Этап 1.3.8.14

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Этап 1.3.8.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Этап 1.3.8.16

Объединим $\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Этап 1.3.8.17

Перенесем $- 1$ влево от ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.8.18

Перепишем $- 1 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.8.19

Перенесем ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.22

Умножим $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x - 2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4.2

Перепишем ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{4 - x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.9

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.10

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.11

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.13

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} 4 - x}}}$

Этап 2.14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}}}$

Этап 2.15

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 - 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Этап 4.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Этап 4.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}}$

Этап 4.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{1 + 1}{2}}$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.7

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 4.4

Разделим $1$ на $1$ .

$1$