Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $40$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $32$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $8$ на $16$ .

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $40$ на $- 4$ .

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $160$ из $128$ .

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.2.7.3

Добавим $- 32$ и $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Этап 1.1.3.3

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $8 x^{2} + 40 x + 32$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $40$ на $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.6

Добавим $16 x + 40$ и $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

Этап 1.4

Разделим $16 x + 40$ на $1$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

Этап 2.2

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

Этап 2.3

Найдем предел $40$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$16 \cdot - 4 + 40$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $16$ на $- 4$ .

$- 64 + 40$

Этап 4.2

Добавим $- 64$ и $40$ .

$- 24$