Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1 - 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.1.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{5 x} - 1 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.5

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.5.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.6

Добавим $5 e^{5 x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.1.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.1.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.1.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $5 e^{5 x} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{5 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2.2

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.6

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.7

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5

Добавим $25 e^{5 x}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{1}$

Этап 5.4

Разделим $25 e^{5 x}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 25 e^{5 x}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $25$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 lim_{x \to 0} e^{5 x}$

Этап 6.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{lim_{x \to 0} 5 x}$

Этап 6.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 lim_{x \to 0} x}$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 \cdot 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $25$ .

$\frac{25}{2} e^{5 \cdot 0}$

Этап 8.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{25}{2} e^{0}$

Этап 8.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1$

Этап 8.4

Умножим $\frac{25}{2}$ на $1$ .

$\frac{25}{2}$