Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Этап 3.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Этап 3.2.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Этап 3.7

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Этап 3.8.2

Перепишем это выражение.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Этап 3.9

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$