Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$8 x + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$8 x + 12 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.10.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.11

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.12

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13.3

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13.4

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.6.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13.6.2

Добавим $- 6$ и $1$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.13.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.15

Умножим $- 1$ на $12$ .

$8 x - 12 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.16

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$8 x + \frac{- 12 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.17

Умножим $- 12$ на $3$ .

$8 x + \frac{- 36}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.18

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.19.2

Сократим общий множитель.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.19.3

Перепишем это выражение.

$8 x + \frac{- 18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + 0$

Этап 4.2

Добавим $8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$ и $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$