Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 {\sin (x)}^{x}$

Этап 1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 {\sin (x)}^{x}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sin (x)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}]$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({\sin (x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$9 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (\sin (x))}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (\sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x \ln (\sin (x))$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x \ln (\sin (x))$ .

$9 (e^{x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Этап 8.2

Умножим $\ln (\sin (x))$ на $1$ .

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 9 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Этап 9.2

Избавимся от скобок.

$9 e^{x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 9 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$9 e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 9 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$