Математический анализ Примеры

$f (x) = \arccos (\ln (x^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arccos (x)$ и $g (x) = \ln (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\arccos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (x^{2})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (2 x)$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

Этап 3.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

Этап 3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

Этап 3.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$