Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x) \cot (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- \csc^{2} (x) \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Этап 4.2.4

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cot (x) \sin (x)$

Этап 4.2.5

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим круглые скобки.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\cot (x) \sin (x))$

Этап 4.2.5.2

Выразим $- \cot (x) \sin (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Этап 4.2.5.3

Сократим общие множители.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x)$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \cos (x)$

Этап 4.3.2

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x)$

Этап 4.3.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - \cos (x)$

Этап 4.3.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$