Математический анализ Примеры

$x e^{x}$

Этап 1

Запишем $x e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x e^{x}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 2.1.1.3.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x e^{x} + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.2.2.2

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.2.2.4

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.2.3

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.1.2.4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Этап 2.1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.2.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.2.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 2$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Этап 5.2.1.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Этап 5.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Этап 5.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

Этап 5.2.1.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

Этап 5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

Этап 5.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Добавим $- 4$ и $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

Этап 5.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{2}{e^{4}}$ .

$- \frac{2}{e^{4}}$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 2, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

Этап 6.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f'' (0) = 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(- 2, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8