Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\sqrt[4]{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{4}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Этап 7.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 10

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ на $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot 4}$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $4$ влево от $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4 \cdot x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 11.2

Перенесем $x^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $x^{\frac{1}{4}}$ на $x^{\frac{3}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{4 (x^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{4}})}$

Этап 12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}}$

Этап 12.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3 + 1}{4}}}$

Этап 12.1.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{4}{4}}}$

Этап 12.1.5

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{4 x^{1}}$

Этап 12.2

Упростим $4 x^{1}$ .

$\frac{1}{4 x}$