Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 48 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 48$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Этап 2.2

Добавим $48$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{2} = 48$

Этап 2.3

Разделим каждый член $12 x^{2} = 48$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $12 x^{2} = 48$ на $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $48$ на $12$ .

$x^{2} = 4$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2, - 2$ .

$2, - 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 48$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = 12 \cdot 9 - 48$

Этап 5.2.1.2

Умножим $12$ на $9$ .

$f' (- 3) = 108 - 48$

Этап 5.2.2

Вычтем $48$ из $108$ .

$f' (- 3) = 60$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $60$ .

$60$

Этап 5.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $60$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 48$

Этап 6.2.2

Вычтем $48$ из $0$ .

$f' (0) = - 48$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 48$ .

$- 48$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- 48$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 2)$ .

Убывание на $(- 2, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 48$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 48$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $9$ .

$f' (3) = 108 - 48$

Этап 7.2.2

Вычтем $48$ из $108$ .

$f' (3) = 60$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $60$ .

$60$

Этап 7.3

При $x = 3$ производная имеет вид $60$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Убывание на: $(- 2, 2)$

Этап 9