Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Этап 3.2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Этап 3.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Этап 3.2.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Этап 3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Этап 3.5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Этап 3.6

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Этап 3.7

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Развернем $\ln (e^{y + 1})$ , вынося $y + 1$ из логарифма.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Этап 3.7.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Этап 3.7.3

Умножим $y + 1$ на $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Этап 3.8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Этап 5.2.3.1.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Этап 5.2.3.1.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Этап 5.2.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Этап 5.2.3.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Этап 5.2.3.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Этап 5.2.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Этап 5.2.3.2

Объединим противоположные члены в $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Этап 5.2.3.2.2

Добавим $e^{x + 1}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Этап 5.2.3.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x + 1$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Этап 5.2.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Этап 5.2.3.5

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\ln (2 x + 4)$ и $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Этап 5.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Этап 5.3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Этап 5.3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Этап 5.3.4.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Этап 5.3.4.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$