Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Этап 3

Умножим $\frac{x}{x^{5} - 12}$ на $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{5} - 12$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.4

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{x}{x^{5} - 12}$ на $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

Этап 11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $x$ из $(x^{5} - 12) x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

Этап 12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Этап 12.3.2

Вычтем $x^{5}$ из $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Этап 12.4

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

Этап 12.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

Этап 12.4.2

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

Этап 12.5

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{5} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{5}$ .

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

Этап 12.5.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

Этап 12.5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

Этап 12.6

Вынесем множитель $x$ из $x^{6} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

Этап 12.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- 12 x$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

Этап 12.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$