Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[5]{x^{4}} + x^{4 e}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt[5]{x^{4}} + x^{4 e}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{4}}$ в виде $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4 e$ .

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}} + 4 e x^{4 e - 1}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1}$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $4 e x^{4 e - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.3

Объединим $4 e x^{4 e - 1}$ и $\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{4 e x^{4 e - 1} (5 x^{\frac{1}{5}})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 4 e x^{4 e - 1} (5 x^{\frac{1}{5}})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.5

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{4 + 20 e x^{4 e - 1} x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6

Умножим $x^{4 e - 1}$ на $x^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 + 20 e (x^{\frac{1}{5}} x^{4 e - 1})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 + 20 e x^{\frac{1}{5} + 4 e - 1}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1 - 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6.6.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{- 4}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 + 20 e x^{4 e - \frac{4}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{20 e x^{4 e - \frac{4}{5}} + 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$