Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

Этап 1

Рационализируем числитель с помощью умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем числитель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $x^{4}$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Этап 2.2.2

Добавим $- 5 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

Этап 3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем член $- 5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Этап 5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.4

Внесем предел под знак радикала.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.7

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Этап 9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ на $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Этап 9.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Этап 9.3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Этап 9.3.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Этап 9.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Этап 9.3.3

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Этап 9.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$- 2.5$