Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Этап 9.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Этап 9.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ на $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

Этап 9.4

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ на $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

Этап 9.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

Этап 9.6

Упростим.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

Этап 9.7

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

Этап 9.8

Перепишем $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ в виде $- (\sqrt{2} - 2)$ .

$- (\sqrt{2} - 2)$

Этап 9.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sqrt{2} - - 2$

Этап 9.10

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \sqrt{2} + 2$

Десятичная форма:

$0.58578643 \dots$