Математический анализ Примеры

$f (x) = x e^{3 x} - e^{x^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $x e^{3 x} - e^{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.7

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 2.8

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{x^{2}} (2 x))$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - 2 e^{x^{2}} x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$3 e^{3 x} x - 2 e^{x^{2}} x + e^{3 x}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{3 x} x - 2 e^{x^{2}} x + e^{3 x}$ .

$3 x e^{3 x} - 2 x e^{x^{2}} + e^{3 x}$