Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{8}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(7 x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{({(7 x - 6)}^{8})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 x - 6)}^{8})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{8 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 2.3

Умножим ${(7 x - 6)}^{8}$ на $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = 7 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (8 {(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель ${(7 x - 6)}^{7}$ из ${(7 x - 6)}^{8} - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель ${(7 x - 6)}^{7}$ из ${(7 x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель ${(7 x - 6)}^{7}$ из $- 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель ${(7 x - 6)}^{7}$ из ${(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{16}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель ${(7 x - 6)}^{7}$ из ${(7 x - 6)}^{16}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{7} {(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{7} {(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $7 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 7

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 9

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 10

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 11

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 11.2

Умножим $7$ на $- 8$ .

$\frac{7 x - 6 - 56 x}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 11.3

Вычтем $56 x$ из $7 x$ .

$\frac{- 49 x - 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 49 x$ .

$\frac{- (49 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 12.2

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$\frac{- (49 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (49 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (49 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 12.4

Перепишем $- (49 x + 6)$ в виде $- 1 (49 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (49 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{49 x + 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$