Математический анализ Примеры

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{9-x}}$ в виде ${\displaystyle {(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=9-x}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 9-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[9\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 9}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle {(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle {(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2{(9-x)}^{\frac{1}{2}}}{2{(9-x)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Объединим ${\displaystyle {(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle \frac{2{(9-x)}^{\frac{1}{2}}}{2{(9-x)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle {(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle {(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle {(9-x)}^1\cdot 2}$.

Перенесем ${\displaystyle 2}$ влево от ${\displaystyle 9-x}$.

Упростим.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{3(x-6)}{2{(9-x)}^{\frac{1}{2}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{3}{2}\frac{d}{dx}\left[\frac{x-6}{{(9-x)}^{\frac{1}{2}}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x-6}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(9-x)}^{\frac{1}{2}}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(9-x)}^{\frac{1}{2}}\right)}^2}$.

Упростим.

Продифференцируем.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=9-x}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 9-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[9\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 9}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Умножим.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Объединим дроби.