Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}]$ в виде $\frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 12 x + 9}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2}}]$

Этап 1.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Этап 1.1.4

Перепишем многочлен.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2}}]$

Этап 1.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x - 3)}^{2}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 2

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 7

Добавим $2$ и $0$ .

$2$