Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - \sin (x)}{x^{3}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\tan (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{3 x^{2}}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{2} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.6.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Этап 3.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $\sec^{2} (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.9.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot 1 \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot \tan (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{2} (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.6

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.6.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.7

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.8

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.11

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.12

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.14

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (x) + 2 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.5

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.6

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.7

Объединим.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.8

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.8.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.8.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.9

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.4.12

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{1}$

Этап 5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x) + 2}{\cos^{4} (x)} + \cos (x)}{1}$

Этап 5.4.2

Чтобы записать $\cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x) + 2}{\cos^{4} (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{1}$

Этап 5.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{1}$

Этап 5.5

Разделим $\frac{4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) + 2 + \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.9

Вынесем степень $4$ в выражении $\cos^{4} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}$

Этап 6.11

Вынесем степень $4$ в выражении $\cos^{4} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}$

Этап 6.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4 \sin^{2} (0) + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4 \cdot 0^{2} + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4 \cdot 0 + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.3

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.4

Умножим $\cos (0)$ на $\cos^{4} (0)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $\cos (0)$ на $\cos^{4} (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1.1

Возведем $\cos (0)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + \cos^{1} (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + {\cos (0)}^{1 + 4}}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.4.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + \cos^{5} (0)}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + 1^{5}}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0 + 2 + 1}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.7

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 1}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.2.8

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{\cos^{4} (0)}$

Этап 8.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1^{4}}$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1}$

Этап 8.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1}{3 (2)} \cdot 3$

Этап 8.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Этап 8.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$