Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t - 5$ и $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $t - 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $t^{2} + 10 t + 25$ на $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $t^{2} + 10 t + 25$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10 t$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 2.11

Добавим $2 t + 10$ и $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(- t + 5) (2 t + 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.6

Умножим $5$ на $10$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $- 10 t$ и $10 t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.3

Добавим $- 2 t^{2}$ и $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 t^{2}$ из $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $25$ и $50$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 t$ .

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Запишем $10$ как $- 5$ плюс $15$

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- t - 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

Этап 3.4.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = t$ и $b = 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перемножим экспоненты в ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Этап 3.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Этап 3.4.4.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $25$ на $6$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Этап 3.4.4.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

Этап 3.4.4.5

Умножим $125$ на $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

Этап 3.4.4.6

Возведем $5$ в степень $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

Этап 3.4.5

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

Этап 3.4.6

Разложим $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $- t - 5$ и ${(t + 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t) - 1 (5)$ .

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.5.4

Перепишем $- (t + 5)$ в виде $- 1 (t + 5)$ .

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.5.5

Вынесем множитель $t + 5$ из $- 1 (t + 5) (t - 15)$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Вынесем множитель $t + 5$ из ${(t + 5)}^{4}$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Этап 3.5.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Этап 3.5.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$