Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{t + 1}{2^{t}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t + 1$ и $g (t) = 2^{t}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{{(2^{t})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{t})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{t \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2^{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2^{t} (1 + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2^{t} (1 + 0) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2^{t} \cdot 1 - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Этап 2.5.2

Умножим $2^{t}$ на $1$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2^{t} + (- t - 1 \cdot 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 \cdot 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Этап 4.3.2

Перепишем $- 1 (2^{t} \ln (2))$ в виде $- (2^{t} \ln (2))$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

$\frac{2^{t} - t \cdot 2^{t} \ln (2) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2^{t} t \ln (2) - 2^{t} \ln (2) + 2^{t}}{2^{2 t}}$